Три луча, выходящие из одной точки... наибольший угол в 2 раза

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на $3$ разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в $2$ раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Решение

Пусть $x$ — величина наименьшего угла; $y$ — величина среднего угла. Тогда, величина наибольшего угла — $2x$ (т.к. величина наибольшего угла в $2$ раза больше наименьшего).

Полный угол равен $360^{\circ}$ . Отсюда можно составить уравнение:

x+y+2x=360

;

y=360-3x

Т.к. величина среднего угла должна быть больше наименьшего угла и меньше наибольшего угла, можно составить систему уравнений:

\begin{cases}{y>x}\\{y<2x}\end{cases}

Подставим значение $y$ :

\begin{cases} {360-3x>x} \\ {360-3x<2x} \end{cases}

;

72<x<90

.51

Т.к. углы измеряются целым числом градусов (по условию), то в диапазоне от $72$ до $90$ таких значений $17$ (не включая $72$ и $90$ ).

Ответ: $17$ .

Источник: ЕГЭ 2022. Единый государственный экзамен. Математика. Базовый уровень. Готовимся к итоговой аттестации. Учебное пособие (вариант №17) (Купить книгу)